gf2:nimspiel [DokuWiki CSC]

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====== Nim - Spiel ======


==== Einstieg ins Thema ====

Spiele einige Runden dieses [[https://www.mathematix.ch/Pearls|Nim-Spiel]] gegen Juan und versuche ihn zu besiegen. Die Regeln sind einfach: \\ \\

  * Man darf beliebig viele Perlen nehmen, aber nur aus einer Zeile.
  * Wer die letzte Perle nehmen muss, hat verloren.

<WRAP nicebox blue>
**Leitfragen**\\  
  * Was ist die Gewinnstrategie gegen Juan?
  * Wie gehst du vor, wenn du das Spiel beginnst und «Juan» als Zweites spielt?
  * Welche Strategie hast du, wenn der Gegenspieler «Juan» das Spiel beginnt?
  * Welche wichtigen Beobachtungen machst du? Welche Erklärungen gibt es dafür?
</WRAP>


<WRAP nicebox green>
**Auftrag 1**\\
Beantworten Sie die Leitfragen ausführlich!\\
Weitere Fragen könnten sein: \\
  * Gibt es Situationen, in denen es nicht eindeutig ist, was der nächste eigene Zug ist?
  * Wie muss wann entschieden werden?

**Auftrag 2**\\
Welche Aussagen sind falsch und warum?
  * A1: "Wenn ich am Zug bin, dann nehme ich immer Perlen der untersten Reihe, sodass die Reihen gleichlang werden."
  * A2: "Wenn ich wählen kann, dann soll Juan starten, so gewinnt man fast immer."
  * A3: "Es ist quasi unmöglich, langfristig zu gewinnen. Das Spiel ist nicht fair."\\
</WRAP>
==== Was ist Modulo und wie hilft es bei Nim-Spielen? ====

Modulo ist eine math. Rechenoperation, mit welcher der **Rest einer Division** zweier Zahlen berechnet werden kann. 
\\
//Beispiel://\\
$(17 : 3) = 5$ Rest 2 und dies kann geschrieben werden als $17 mod 3 = 2$\\

In vielen Varianten des Nim-Spiels ist **Modulo** ein zentrales Konzept für die Gewinnstrategie:
Pearls before Swine: Hier verwendet man folgende Strategie: wenn die Nim-Summe zu Beginn eines Zuges `0` ist, befindet sich der Spieler in einer verlierenden Position, vorausgesetzt, der andere Spieler spielt optimal. 
Wir addieren die einzelnen Spalten der Binärzahlen undn summieren ohne übertrag - das ergebnis ist dann 0 oder 1. Dieses Weglassen des übertrags ist nichts anderes als Modulo 2 zu rechnen. Denn Beispielsweise ist ja 5 mod 2 = 1 und 4 mod 2 = 0. \\ 
Da die Modulo-Operation uns dieses Jahr noch mehrfach begegnen wird, gibt es hier einige Übungen dazu. Versuchen Sie auch herauszufinden, wie Ihr Taschenrechner Modulo rechnet.
<WRAP nicebox green>
**Auftrag 3**\\
  - Denken Sie sich sechs natürliche Zahlen aus und berechne deren Fünferreste. Mindestens zwei davon sind gleich. Warum muss das so sein? Erklären Sie!
  - Berechne den Elferrest von 
    - 200
    - 500
    - 700 
    - 1000
    - 1'000'000.
  - Berechnen Sie die folgenden Modulos:
    - $2^2$; $2^4$;$2^8$;$2^{12}$;$2^{100}$ mod 3
    - $2^2$; $2^{20}$;$2^{100}$ mod 5
    - $3^{20}$ mod 5, was kann man daraus für die Endziffer von 320 schließen?
  
</WRAP>

=== Lösung: Wie schlägt man Juan? ===

  - Man schreibt die Anzahl der Perlen in jeder Zeile in Binärschreibweise
  - Die Summe der Bits in jeder Spalte muss gerade sein, wenn Juan drankommt. Ist dies der Fall, so ist man in einer Gewinnstellung.
  * [[https://www.alraft.de/altenhein/spiele/nim-spiel/grundlagen.html | Nützlicher Link]]