Binär und dezimal, die beiden Zahlensysteme
Das Zahlenrätsel
Auftrag 1
Spielen Sie das folgende Spiel und halten Sie drei wichtige Erkenntnisse fest!
Warum ist diese nicht-dezimale sondern sog. binäre Art der Zahlendarstellung zentral in der Informatik / Technik?
Das sogenannte Binärsystem, das heisst, wenn die Zahlen nur mit 1 und 0 dargestellt werden wie beim Automaten der Aufgabe, ist für Computer unverzichtbar. Informationen können durch zwei Zustände darstellt: An (1) und Aus (0), was den physikalischen Eigenschaften, Strom fließt (An) oder fließt nicht (Aus) entspricht. Durch die Kombination dieser 0 und 1 kann der Computer komplexe Daten verarbeiten und speichern. Oft sind das sehr lange Ketten von Nullen und Einsen.
Zahlensysteme
Die römischen Zahlen werden zum Rechnen und Darstellen von Zahlen genutzt. Dies führte zu relativ umständlichen Rechenverfahren und es mussten für sehr grosse und auch sehr kleine Zahlen immer wieder neue «Zahlennamen» erfunden werden. Beispielsweise ist MMXXIII die Zahl für das Jahr 2023.
Erst um 1400 n. Chr. wird in Europa die arabischen Ziffern 0 bis 9 im Dezimalsystem zum Rechnen genutzt. Dies vor allem durch den sich immer weiter erstreckenden Handel (Pfeffer, Nelken, Seide,) mit Gewürzen und kostbarer Ware aus Indien und Afrika nach Europa.
Das Rechnen mit diesen neuen arabischen Zahlen war einfacher, jedoch war es immer noch eine langwierige Sache, komplexe Rechnungen durchzuführen. Es brauchte teilweise Jahre, um komplexe Berechnungen (beispielsweise Planetenpositionen o.ä.) durchzuführen.
Dies war vor allem dann ab 1600, als das Beobachten des Sternenhimmels sehr in Mode war immer wieder eine Herausforderung. (Vergleich: Keppler lebte von 1570 bis 1630).
1673 stellte Gottfried Wilhelm Leibniz die Rechenmaschine vor, welche nicht nur Addieren, sondern auch sehr effizient multiplizieren konnte. Ein Novum, und Leibniz sollte nicht nur durch diese Maschine in die Geschichte eingehen. Wie ein Model des Leibniz-Rechners: auch unsere heutigen Computer rechnen binär.
Binäres Zahlensystem
Binär heisst, die Maschinen kennen nur zwei verschiedene Zustände («Ziffern»): 1 (Strom) und 0 (kein Strom). Das so genannte binäre System (lat. binäres „zweifach“) hat somit nur zwei Ziffern nötig und deshalb lohnt es sich in der Informatik, sich einmal einige Gedanken zum binären Zahlensystem zu machen.
Was ist ein Zustand?
In der Rechenmaschine von Leibniz (siehe Video oben) und auch im Lab zu Turing Tumble können Kugeln gezählt werden. Diese Kugeln durchlaufen ein bestimmtes System mit Bahnen und Zählerbits, welche bewegt werden. Durch diese Bewegung kann anschliessend die Zahl (Anzahl bereits passierter Kugeln) abgelesen werden.
Der Ausdruck Zustand kann so gedeutet werden, dass geschaut wird, wie die Maschine nach dem Durchlauf der Kugeln (bzw. beim Durchlauf des Stroms) eingestellt ist - dies bedeutet beispielsweise wie die Zählerbits liegen bzw. welche Lampen leuchten, bzw. welche Elektronen wie geladen sind. Dies sind daher erst einmal Zustände. Aus diesen Zuständen meist direkt eine Zahl ausgelesen werden.
Während wir mit zwei Ziffern im dezimalen System hundert verschiedene Zustände in einer Maschine einstellen bzw. herstellen könnten, gibt es mit zwei Ziffern im binären System nur 4 Zustände: die Zahlen 00, 01, 10 und 11.
Was ist ein Bit?
Ein Bit wird für Binary Digit verwendet. Dies ist eine einstellige binäre Zahl, hat somit den Wert 1 oder 0 und dies ist die kleinstmögliche Informationseinheit. Man kann damit nur zwei Zahlenwerte darstellen.
Bei der Abbildung links ist jeweils die dezimale und rechts die binäre Zahl angegeben. Beachten Sie, dass der Wert 0 identisch ist mit dem Wert 00 oder 000.
Wenn wir im dezimalen Zahlensystem nur eine einzige Ziffer (einstellige Zahl) betrachten, können wir damit 10 verschiedene Zustände (Zahlenwerte) darstellen, nämlich die Zustände 0 bis 9. Wenn wir eine zweite Ziffer hinzufügen, ergibt dies eine zweistellige Zahl und wir können schon 100 verschiedene Zustände darstellen, 0 bis 99. Bei drei Ziffern (einer dreistelligen Zahl) können wir schon 1000 verschiedene Zustände darstellen. Die Anzahl Zustände verzehnfacht sich jedes Mal, wenn wir eine weitere Ziffer (Dezimalstelle) hinzufügen.
Auftrag 2: Offene Fragen
Beantworten Sie die folgenden Fragen ausführlich.
- Wie muss die Tabelle fortgesetzt werden?
- Wie könnte man die Binärzahlen jeweils direkt bestimmen, ohne alle vorherigen zu notieren?
- Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es zum Zehnersystem?
- Wie viele Zustände können mit 6 Bits dargestellt werden? Vergleichen Sie diese Anzahl Zustände mit jener, wenn die Zustände mit Hilfe des Zehnersystems dargestellt werden und dies eine sechsstellige Zahl ist.
- Vervollständigen Sie die folgende Tabelle:
| Binärsystem | versus | Zehnersystem | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl Ziffern | mögl. Zustände | Anzahl mögl. Zustände | Anzahl Ziffern | mögl. Zustände | Anzahl mögl. Zustände | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 und 1 | 2 | 1 | 0 bis 9 | 10 | ||||
| 2 | 00 bis 11 | 4=22 | 2 | 0 bis 99 | 100 = 102 | ||||
| … | … | … | 3 | 0 bis 999 | … | ||||
| … | … | … | 4 | 0 bis 9999 | … | ||||
| … | … | … | 5 | 0 bis 99999 | … | ||||
| … | … | … | 6 | 0 bis 999999 | … | ||||
…
Auftrag 3: Vermindern und Erhöhen
- Spielen Sie das folgende Learningapp durch.
- Welche Regeln gelten, wenn eine beliebige Binäre Zahl um eins erhöht (oder aber vermindert) wird? Formulieren Sie schriftlich (auf OneNote)!
- Überprüfen Sie die formulierten Regeln an folgendem App
Regel:
Das dezimale Zahlensystem kennt insgesamt 10 verschiedene Zeichen (0 bis 9). Diese kann man miteinander kombinieren, um weitere Zahlen darstellen zu können.
Jedes Mal, wenn man im dezimalen Zahlensystem eine Ziffer hinzufügt, verzehnfacht sich die Anzahl möglicher Zahlen (Zustände). Mit 2 Ziffern kann man also zum Beispiel 10-mal so viele Zahlen darstellen, wie mit 1 Ziffer. Mit 3 Ziffern kann man wiederum 10-mal so viele Zahlen darstellen, wie mit 2 Ziffern, und so weiter.
Beim binären Zahlensystem sieht es schon ein bisschen anders aus. Denn, wie wir gesehen haben, kann man mit 1 Bit (1 Stelle) nur gerade 2 Zahlen (Zustände), nämlich die 0 und die 1 darstellen. Mit 2 Bit gibt es schon 4 mögliche Kombinationen und so weiter.
Auftrag 4: Aussagen verändern
Verändern Sie diese Aussage, so dass diese für das binäre Zahlensystem zutrifft. Notieren Sie dies auf OneNote.
Aussage: Wie wir gesehen haben kann man im dezimalen Zahlensystem mit nur 1 Ziffer (1 Stelle) 10 verschiedene Zahlen (also 10 verschiedene Zustände) darstellen. Dies wären 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Wenn man noch eine Stelle dazu nimmt (also 2 Ziffern), kann man schon 100 verschiedene Zahlen (0 bis 99) darstellen. Jedes Mal, wenn wir eine Ziffer hinzufügen, verzehnfacht sich also die Anzahl möglicher Zahlen.
Acht einzelnen Bits ergeben ein Byte…
Im Alltag begegnet man den Bits nur bei Übertragungsgeschwindigkeiten oder auch einer Lese- oder Schreibgeschwindigkeit einer Festplatte, die Einheit wäre dann Gigabits pro Sekunde oder ähnliches.
Die Speicherkapazität einer Festplatte wird jeweils in Datenmengen (Anzahl Zeichen) in Bytes angegeben.
Ein Byte ist… Ein Byte ist nichts anderes als 8 aneinandergereihte Bits. So sind beispielsweise 10011010 acht Bits hintereinander, und zusammengefasst ein Byte. Mit einem Byte lassen sich 28 verschiedene, also 256 verschiedene Zustände darstellen. Dies, da für jedes Bit zwei Zustände möglich sind.
Das (englische) Alphabet hat 26 Buchstaben und dies doppelt gezählt wegen der Gross- und Kleinschreibung, dazu kommen noch Ziffern und Sonderzeichen und so wurden 128 Zeichen nötig, was einer Folge von 7 Bits entspricht. Anfangs wurden aber trotzdem ein Byte (also 8 Bit) versendet, denn so konnte ein Prüfbit (Parity-Bit) mitgesendet werden. Diese Umwandlung von Zeichen und Buchstaben in Bits (oder Bytes) wird ASCI-Code (American Standard Code for Information Interchange) genannt. Siehe Video
Durch das Bedürfnis von mehr als 128 Bits für all die Sonderzeichen in anderen Sprachen als englisch wurde dieses Kontrollbit aufgegeben, um so den Zeichenumfang auf 256 zu erweitern.
Aus der Tatsache der Textcodierung hat sich das Byte in der Informatik als Standard-Begriff entwickelt, weil für die erste Codierung von Text (mit Hilfe der ASCII-Übersetzungstabelle) jedem Textzeichen genau eine Zahl aus 8 Bit zugeordnet wurde.
Das Video nimmt vieles vom Lerninhalt noch einmal auf.
Sowohl Bits als auch Bytes werden häufig mit verschiedenen Präfixen, wie Kilo, Mega, Giga u.s.w. angegeben. Studieren Sie die folgenden Präfixe:
| Bezeichnung | Einheit | Anzahl Bytes | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Byte | B | 1 Byte = 8 Bit | Zahl oder Zeichen zwischen 0 und 255 |
| Kilobyte | KB (oder KiB) | 1000 Byte = 103 | Eine halbe Seite Text |
| Megabyte | MB (oder MiB) | 1000 KB = 103 | Ein Farbbild |
| Gigabyte | GB (oder GiB) | 1000 MB = 103 | Ein kurzes Video |
| Terabyte | TB (oder TiB) | 1000 GB = 103 | Textmenge einer Bibliothek |
| Petabyte | PB (oder PiB) | 1000 TB = 103 | 1900 Jahre Musik |
| Exabyte | EB (oder EiB) | 1000 PB = 103 | 315-mal mehr als Sandkörner auf der Erde |
Der Unterschied zwischen KiB (Kibibyte) und KB (Kilobyte) liegt in der Basis der Potenz, welche zur Berechnung genutzt wird:
| Kilobyte (KB): | Kibibyte (KiB): |
|---|---|
| Ein Kilobyte (KB) wird als 1000 Bytes definiert. | Ein Kibibyte (KiB) wird als 1024 Bytes definiert |
| Diese Definition folgt dem Dezimalsystem, bei dem die Basis 10 ist, denn $1000=10^3$ Bytes | Diese Definition folgt dem Binärsystem, bei dem die Basis 2 ist, denn $1024=2^{10}$ |
| 1 KB = 1.000 Bytes. | 1 KiB = 1.024 Bytes. |
| Der Unterschied mag klein erscheinen, aber er kann sich bei großen Datenmengen signifikant auswirken. | |
| Kilobyte ist sehr geläufig in der kommerziellen Datenverarbeitung (Festplattenkapazitäten und Datentransferraten). | Diese Einheit wird oft in der Informatik verwendet, um Speichergrößen genau zu beschreiben, insbesondere im Zusammenhang mit Arbeitsspeicher (RAM) oder Dateigrößen in Betriebssystemen. |
Auftrag 5
Bearbeiten Sie die folgenden Fragen zu zweit:
- Was ist der Unterschied zwischen einem Petibyte und einem Petabyte und warum wird dieser gemacht? Welche Grösse beinhaltet mehr Bits und wie viele wären dies?
- Suchen Sie in ihrem Rechner zu den Grössen KB, MB, GB jeweils eine Datei dieser Grössenordnung und notieren Sie sich dieses Beispiel. Vergleichen Sie untereinander.
- Eine Datei ist 2.3 Byte gross (binär gespeichert). Angenommen, wir würden diese Datei nicht binär speichern (mit 1 und 0), sondern es gäbe pro Stelle 7 Zustände - es gäbe somit „7nerBits“. Wie viele Stellen hätte diese Datei dann und wie gross wäre diese dann?
Auftrag 6
- Lösen Sie das Quiz!
- Berechnen Sie den Speicherplatz eine Bibliothek mit 1000 Büchern, wenn ein Buch durchschnittlich 500 Seiten, eine Seite 50 Zeilen und eine Zeile 40 Zeichen.
- Sie möchten auf einem USB-Stick mit 16 GB Fotos speichern. Wie viele Fotos können gespeichert werden mit der Annahme von 920 KB Speicherplatz pro Foto.
- Lösen Sie das Quiz!
- Lösen Sie das Quiz!
Lernziele und Leitfragen
- Kann ich erklären, wieso Computer ausschliesslich mit dem binären Zahlensystem arbeiten und wir Menschen im Dezimalsystem?
- Kann ich den Unterschied zwischen dem dezimalen und dem binären Zahlensystem erklären.
- Kann ich sowohl im dezimalen wie auch im binären Zahlensystem erklären, wie viele Zustände mit n Stellen dargestellt werden können und was Zustände überhaupt sind?
- Kann ich binär aufzählen und eine beliebige binäre Zahl um 1 Stelle erhöhen oder vermindern und verschiedene Erklärungen dazu geben?
- Kann ich die Begriffe Bit und Byte erklären?
- Kann ich die wichtigsten binären Prämissen ordnen und jeweils ein Beispiel dazu nennen?
- Kann ich Berechnungen mit den Speichergrössen durchführen?
- Formulieren Sie weitere Lernfragen zu diesem Thema!