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Boolsche Algebra
Seit Konrad Zuse erkannt hatte, dass das Binärsystem für den Bau von modernen Rechenmaschinen geeigneter ist als unser Dezimalsystem, basieren quasi alle Computer auf dieser Grundlage. Nachdem Relais oder Elektronenröhren durch moderne, winzige Transistoren ersetzt wurden, besteht die Hardware eines Computers aus Millionen von winzigen Schaltelementen, welche zu immer komplexeren Schaltungen zusammengefügt werden.
Das mathematische Teilgebiet, welches sich mit der Manipulation von logischen Aussagen beschäftigt, ist die Boolsche Algebra. Sie ist nach dem englischen Mathematiker George Boole (1815-1864) benannt. In der Booleschen Algebra gibt es für Variablen oder Ausdrücke nur zwei mögliche Werte: „wahr“ und „falsch“ (1 und 0). Mit diesen beiden Werten und logischen Operatoren wie und, oder und nicht können komplexe logische Aussagen aufgebaut werden.
Die Boolesche Algebra findet Anwendung in der Schaltungstechnik, in der digitalen Signalverarbeitung, in der Informatik und der Logik, und ist eine Grundlage für die Entwicklung digitaler Schaltungen, Rechner und Algorithmen.
Für die Verknüpfungen der Boolschen Algebra gibt es einige Schreibweisen, diese werden in der untenstehenden Tabelle zusammengefasst:
| Operation | Schreibweise 1 | Schreibweise 2 | Bezeichnung | Bedeutung |
|---|---|---|---|---|
| UND | $A \land B$ | $A \cdot B$ | Konjunktion | Wahr, wenn A und B wahr sind |
| ODER | $A \lor B $ | $A + B$ | Disjunktion | Wahr, wenn A oder B (oder beide) wahr ist |
| NICHT | $ \overline{A} $ | $\lnot A $ | Negation | Wahr, wenn A falsch ist |
Aufgabe 1
Stelle die NOR-Funktion mit allen Repräsentationsformen dar (Wahrheitstabelle, Logischer Ausdruck, Schaltung). Für die Schaltung kannst du https://logigator.com/de verwenden.
Aufgabe 2
Wir betrachten die folgende Boolsche Funktion: Es werden drei Bits als Eingabe verarbeitet und die Ausgabe ist ein Bit, welches angibt, ob die durch die drei Bits dargestellte Zahl durch 3 teilbar ist.
- Gib die Wahrheitstabelle der Funktion an
- Gib die Funktion als logischen Ausdruck an
- Realisiere die Schaltung der Funktion in Logigator.
Aufgabe 3
Was versteht man unter einem RS-Flipflop und wofür kann dieses verwendet werden? Erstelle mit Logigator mit Hilfe von zwei NOR-Gattern (diese musst du zunächst selbst erstellen) einen Schaltkreis, der ein RS-Flipflop implementiert.
Aufgabe 4
Stelle die De Morganschen Gesetze mit einem Ven-Diagramm dar.
Aufgabe 5
Nimm die Wahrheitstabelle aus Aufgabe 2 und finde für diese Funktion:
- Die Disjunktive Normalform
- Die Konjunktive Normalform
Aufgabe 5
Recherchiere (siehe Videos unten), wie eine logische Gleichung mithilfe des KV-Diagramms vereinfacht werden kann. (Achtung: dies läuft über die Disjunktive Normalform, die Konjunktive Normalform lässt sich nicht so ohne Weiteres minimieren)
Aufgabe 7
Gegeben ist Funktion, welche testet, ob eine Zahl mit vier Bit durch drei teilbar ist. Gib diese Funktion als Wahrheitstabelle und als logischen Term in der Disjunktiven bzw. Konjunktiven Normalform an. Minimiere die Normalform mit dem KV Diagramm und realisiere die Funktion als Schaltung in Logigator.
Aufgabe 8
Was versteht man unter einem Halbaddierer? Gib die Wahrheitstabelle für einen Halbaddierer an. Realisiere einen Halbaddierer in Logigator.
Aufgabe 9
Was unterscheidet einen Halbaddierer von einem Volladierer? Gib die Wahrheitstabelle für einen Volladdierer an. Realisiere einen Volladdierer in Logigator.
Links zum Stoff
Erklärung der Grundlagen: Electrical Engeneering for ETH Students
Die Playlist mit den 6 Kurzen Videos erklärt alles: Schrack for Students Gattergrundlagen
Weitere Beispiele/Erklärung zur Disjunktiven/Konjunktiven Normalform Disjunktive Normalform (NLogSpace) und Konjunktive Normalform (NLogSpace)
Lernziele
- Darstellungsarten von Logischen Funktionen verstehen und umschreiben können: Logischer Ausdruck (Formel), Wahrheitstabelle, Schaltung (nicht relevant: Zeitdiagramm).
- Standardgatter verstehen (Darstellung nach IEC 60617-12 kennen, siehe diesen Link) NOT, AND, OR, XOR, NAND, XNOR?
- Wissen, was die De Morganschen Gesetze aussagen und einen Term damit umschreiben können.
- Disjunktive Normalform verstehen und sie aus der Wahrheitstabelle aufstellen können.
- Konjunktive Normalform verstehen und sie aufstellen können.
- Logische Nachbarn verstehen und Terme mit logischen Nachbarn vereinfachen können.
- Die Disjunktive Normalform mithilfe des KV-Diagramms vereinfachen können (Diagramm wird gegeben).
- Schaltung zu einer gegebenen einfachen logischen Funktion aufschrieben können.